자산운용 수필 (9) 파생결합상품 ④ 파생결합상품 분석 방법 개요
이론가격을 계산하는 방법은… 파생상품 쪽에서 말씀드렸듯이
미래현금흐름을 만들어 내고 이를 할인하면 됩니다.
미래현금흐름을 알 수 없기 때문에 이와 관련해서 많은 이론이 존재하게 됩니다.
주식의 경우 수익률이
평균은 무위험수익률 또는 예상수익률, 변동성은 lognormal 분포를 따르면서
랜덤하게 움직인다는 가정을 하게 됩니다.
그러나 채권의 이자율 같은 경우는 여러가지 이론이 존재합니다.
크게 나누면
이자율이 어떤 균형점을 찾아간다는 Equilibrium Model과
차익기회가 없다는… 다시 말하면 이자율의 평균이 Implied Forward rate를 따른다는
No arbitrage Model이 있습니다.
Equilibrium 모델 중 대표적인 건 CIR(Cox, Ingersoll, and Ross) 모형입니다.
아니, 대표적인지는 모르겠지만…
제가 알던 사람들은 대부분 이 모델을 쓰더군요.
이 모형은 금리가 random하게 움직이면서
장기적인 평균에 수렴해간다는 가정에서 출발합니다.
CIR 모형의 단점은 현재 금리에서 추정해 낼 수 있는
내재선도금리(implied forward rate)를 따르지 않는다는 점입니다.
그러나 CIR을 선호하는 사람들은 실제 금리도 어차피
과거 특정시점의 forward rate를 따르지 않지 않냐고 합니다.
implied forward rate에 연연할 경우
오히려 implied forward rate의 덫에 빠질 수 있다고 하기도 하죠.
그러나 파생결합상품의 이론가격을 계산시 문제가 될 수 밖에 없는 이유가 있습니다.
바로 순수채권의 가격이 실제 채권의 가격과 다른 문제입니다.
그럴 경우 동일 물건에 대한 이중 가격이 존재하게 되고,
기본가정인 금융시장의 균형이 깨지게 되니까요.
이론상으로는 그렇지만… 다른게 현실적으로는 맞을 수 있습니다.
파생과 결합되지 않은 상품의 경우 유동성이 더 많고,
결합된 상품은 유동성이 거의 없다는 점을 생각하면요…
따라서 CIR 모형이 무용한 것은 아닙니다.
이론가격계산이 아니라 리스크 관리차원에서는
Implied forward rate를 따른다는 가정에서 나온 모형들 보다 더 유용하게 됩니다.
참고로 혹자는 Vasicek Model과 달리 금리가 (-)가 안된다고 합니다만…
그렇진 않습니다.
Vasicek에서의 변동성이 σ라고 하면,
표준편차(σ)에 이자율의 제곱근(√r)을 곱해
이자율이 낮아질수록 변동성이 줄어들기 때문에
(-)가 될 가능성을 낮추기는 했습니다만…
이론상 정규분포는 음과 양 모두 무한대까지 가능합니다.
얼마든지 넘을 수 있죠….
제게 처음으로 CIR을 설명하셨던 모 교수님...
Vasicek과 달리 절대 CIR은 (-)가 안된다고 해서… 제가 참 고민하게 만들었습니다.
하긴 틀린 말씀은 아닐수도….
음수의 제곱근은 에러가 나지… 음수가 아니니까요…
실제 돌려보면 생각보다 적잖은 에러가 발생합니다.
이자율이 음수가 되면 다음 단계에서는 에러가 나기 때문입니다.
이를 방지하기 위해 실무에서는 적당한 선의 상한과 하한을 부여한다고 합니다.
또한, 장기평균과 장기평균에 수렴해가는 속도(a) 등에 있어서
여러가지 이견이 있고,
자의적으로 적용하기도 해… 이 부분 역시 단점이랄 수 있습니다.
제가 주로 사용했던 건
No arbitrage Model 중 Binominal Model입니다.
정확한 이름은 모르겠습니다만…
간단하고,
미래의 이자율이 분석기준시점의 Implied Forward Rate를 따른다는 모델입니다.
그외에 간혹 CIR 모형을 쓰라는 요구를 받아 CIR 모형을 써보기도 했는데…
제대로 된 CIR 모형보다는
생긴 건 비슷하지만
장기평균이 아닌 Implied Forward rate를 따른다는
수정 CIR을 더 많이 사용했습니다.
수정 CIR… 어디에도 근거가 없는 변칙적 모형입니다.
Commodity 연계상품을 분석할 때에는
혹자는 그냥 주식과 같은 분포라는 가정하에서 모형을 쓰기도 합니다.
그러나 Hull에 의하면
Commodity는 binominal model보다 trinominal model이 좋다고 하더군요.
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파생결합상품과 콜옵션 + Floor
채권평가사가 국내에 3개 밖에 없기에…
그 회사의 이미지를 생각해서 절대 이름을 밝힐 수는 없지만…
모 채권평가사 구조화 담당자와 이야기할 기회가 있었습니다.
대부분의 상품은 분해법으로 평가한다고 하더군요.
내재된 파생상품을 개별 파생상품으로 분해하여
Black Scholes 등 각 상품에 맞는 방법으로 평가를 한다는 것입니다.
그래서 대부분의 상품이 콜옵션과 floor가 있는데 그건 어떻게 평가하냐고 묻자
그것도 Black Scholes 공식을 변형하여 사용한답니다.
그래서 다시 물었습니다.
구조화 상품에 대한 콜옵션은
형식적으로는 채권에 대한 콜옵션이지만
이자자체가 다른 파생상품과 연관되어서
수정했다손 치더라도 그런 Analytical한 방법을 적용할 수 있냐고.
그러자 왈, 된답니다.
그리고 말을 덧붙입니다. 아예 콜옵션이나 floor를 무시해도 된다고.
계산해 보면 큰 차이 안난다고….
신기한 건 그런데도 가격이 그럴싸하게 나오는 겁니다.
그러면 그 사람 말이 맞았던 걸까요?
아니, 분석해 보시면 누구라도 궁금할 겁니다.
10년 만기에 매분기 Bermudian call option이 있습니다.
대부분의 투자안은 이론가를 계산해보면 행사가 유리한 in the money option입니다.
그러다 보니 콜옵션 가격은 그렇게 무시할 수 있는 값이 아닙니다.
말씀드린 적이 있듯이…
현금흐름을 추정하고 할인한다는 생각을 먼저 하지 않으시는 분들이
범하기 쉬운 실수 중 하나가…
위의 그 분처럼 모든 걸 공식으로 해결하고 싶어하신다는 점입니다.
어떻게든 쪼개고 나누지만…
파생결합상품에서 이자율이 정해지는 건 복합요인에 의합니다.
단순히 나누는 방법은 한계가 많습니다.
대부분은 simulation이나 binominal 또는 trinominal tree를 사용할 수 밖에 없습니다.
Image: Amponsah, Akan god associated with wealth and prosperity from Playground.AI